中考数学：平行线判定的艺术与技巧

在初中数学的殿堂中，平行线的判定无疑是一块瑰丽的宝石。它不仅考验着学生对几何基础知识的掌握，更是学生逻辑思维和空间想象能力的试金石。在这篇文章中，我们将深入探讨中考数学中判定两条直线平行的三种常用方法，并辅以详尽的例题解析，帮助学生更好地理解和掌握这一重要知识点。

方法一：用平行线的判定公理判定

首先，我们需要明确一条公理：在同一平面内，两条直线若被第三条直线所截，若同位角相等，则这两条直线平行。这个公理是判定平行线的基石。

例1. 如图1所示，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，AE=CF，求证：BE//DF。

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC。又因为AE=CF，所以∠BAE=∠ACF。由平行线的判定公理得∠ABC=∠BAE，∠ADC=∠ACF。因此，∠ABC=∠ADC，即BE//DF。

例2. 如图2所示，在四边形ABCD中，AE、CF分别平分∠BAD和∠BCD，求证：AE//FC。

证明：由四边形内角和定理得∠BAD+∠BCD=180°。又因为AE、CF分别平分∠BAD和∠BCD，所以∠BAE=∠BAD/2，∠ACF=∠BCD/2。因此，∠BAE+∠ACF=90°。由角平分线定理得∠BAE+∠ACF=∠BAD+∠BCD，即∠BAD+∠BCD=180°。因此，AE//FC。

方法二：用平行四边形对边平行的性质判定

平行四边形的性质之一是它的对边平行。这一性质是判定两直线平行的又一利器。

例3. 如图3所示，四边形ABCD中，AB//CD，AC//BD，求证：BC//FE。

证明：由AB//CD，AC//BD得四边形ABCD是平行四边形。因此，BC//FE。

例4. 如图4所示，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，M、N分别是AO、CO的中点，求证：DM//BN。

证明：连结MB、DN，由O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点得OA=OC，OB=OD。又M、N分别是AO、CO的中点，因此OM=ON。因此，四边形DMBN是平行四边形，故DM//BN。

方法三：用定理判定

如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。这是判定平行线的第三个常用方法。

例5. 如图5所示，△ABC中，EF//CD，AB/AE=AC/AF，求证：ED//CB。

证明：因为EF//CD，所以∠AEF=∠ACD。由比例关系得AB/AE=AC/AF，即AB/AC=AE/AF。因此，△ABE△ACF，所以∠BAE=∠ACF。由平行线的判定公理得∠BAE=∠ACD，即ED//CB。

例6. 如图6所示，在△ABC中，AD是中线，P是AD上一点，CP、BP的延长线分别交AB、AC于点E、F，求证：EF//BC。

证明：延长线PD到G，使DG=PD。因为AD是中线，所以△ABG≌△ACG。因此，∠BAG=∠CAG，即∠BGP=∠CGP。因此，四边形BGCP是平行四边形，故EF//BC。

特别指出，这三种判定两直线平行的方法就是整个初中几何中判定两直线平行的常用方法，只要通过把与圆有关的线段转化为以上的条件即可。

通过上述例题的详解，我们可以看到，判定两条直线平行不仅需要扎实的几何基础知识，还需要灵活运用各种定理和性质。在解题过程中，学生应当注重对图形的观察和分析，以及逻辑推理能力的培养。

让我们以一句名言作为本文的结束：“几何者，空间之艺术也。” 这句话来自德国数学家高斯，它告诉我们，几何不仅仅是数学的一个分支，它更是一种艺术，一种对空间美学的追求。中考数学的平行线判定，正是这门艺术的一个小小剪影。