中考数学：直角三角形解题技巧

篇1：中考数学：直角三角形解题技巧

解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系，是在深入研究几何图形性质的基础上，根据已知条件，计算直角三角形未知的边长、角的大小和面积等。首先要明确解直角三角形的依据和思路：在直角三角形中，是用三条边的比来表述锐角三角函数的定义。因此，锐角三角函数的定义本质上揭示了直角三角形中边角之间的关系，它是解直角三角形的基础。每个边角关系式都可看作方程，解直角三角形的思路，实际上就是根据已知条件，正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解方程来求解。

例1. 如图1，若图中所有的三角形都是直角三角形，且 ，求AB的长。

图1

思路1：所求AB是 的斜边，但在 中只知一个锐角A等于 ，暂不可解。而在 中，已知一直角边及一锐角是可解的，所以就从解 入手。

解法1：在 中，因 ，且 ，AE=1

故

在 中，由 ，得

在 中，由 ，得

思路2：观察图形可知，CD、DE分别是#p#分页标题#e# 和 斜边上的高，具备应用射影定理的条件，可以利用射影定理求解。

解法2：同解法1得

在 中，由 ，得

在 中，由 ，得

点拔：本题是由几个直角三角形组合而成的图形，这样的问题，可先解出已经具备条件的直角三角形，从而逐步创造条件，使得要求解的直角三角形最终可解。值得注意的是，由于射影定理揭示了直角三角形中有关线段的数量关系，因而在解直角三角形时经常要用到。

例2. 如图2，在 中， ，AD是BC边上的中线。

1)若 ， ，求AD的长。

2)若 ，求证：

图2

分析：1)由AD是BC边上的中线，只知DC一条边长，仅此无法直接在 中求解AD。而在 中，由已知BC边和 可以先求出AC，从而使 可解。#p#分页标题#e#

2) 和 分别为 和 中的锐角，且都以直角边AC为对边，抓住图形的这个特征，根据锐角三角函数可以证明

解：1)在 中， ，

在 中，

2)证明：在 中，由 ， ，得

在 中，由 ，

得

故 ，又因BC=2DC，故

点拔：在解直角三角形的问题中，经常会遇到这样的图形，如图2，它是含有两个直角三角形的图形。随着D点在BC边上位置的变化，会引起直角三角形中有关图形数量相应的变化，从而呈现出许多不同的解直角三角形问题。

例3. 如图3，在#p#分页标题#e# 中， ，AD是 的平分线。

1)若 ，求

2)在1)的条件下，若BD=4，求

图3

分析：在1)中已知AD是 的平分线，又知AB、BD这两条线段的比为 ，应用三角形内角平分线的性质定理，就能把已知条件集中转化到 中，先求出 即可求得 。

解：1)由AD是 的平分线，得 ，即

在 中，由 ，得

，

2)由 ，得

由 ，得#p#分页标题#e# 。又

点拨：解直角三角形时，要注意三角形中主要线段的性质，利用平面几何的有关定理，往往能够建立已知与未知的联系，从而找到解决问题的突破口。

例4. 如图4，在 中， ，D为BC上一点， ， ，BD=1，求AB。

图4

分析：已知的角告诉， 和 都是特殊的直角三角形，抓住这个特点设未知数，根据线段间的数量关系，可以列出一元一次方程求解

解：在 中，设 ，由 ，可知 ，得 ，

在 中，由 ，BD=1， ，得

得

#p#分页标题#e#

点拨：解直角三角形时，要注意发掘图形的几何性质，利用线段和差的等量关系布列方程，还要熟练地掌握特殊锐角的三角函数值，以使解答过程的表述简便。

训练题：

如图5，在 中，D、F分别在AC、BC上，且 ， ， ，求AC。

图5

提示： 是直角三角形，AF为斜边上的高线，CF是直角边AC在斜边上的射影，AC又为所求，已知的另外两边都在 中，且 ，即 是等腰三角形，因此，可以过D作 ，从而找到解题思路。由于DE、AF同垂直于BC，可以利用比例线段的性质，逐步等价转化求得AC)

篇2：中考数学：直角三角形解题技巧

1、有一个角为90°的 ，叫做直角三角形。

直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。

直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：2、性质性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

性质2：在直角三角形中，两个锐角互余

性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。(即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2)。

性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。

性质5：射影定理

在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项

∠ACB=90°

CD⊥AB(4)ABCD=ACBC(可用面积来证明)

(5)直角三角形的外接圆的半径R=1/2BC，

(6)直角三角形的内切圆的半径r=1/2(AB+AC-BC)(公式一);

r=AB*AC/(AB+BC+CA)(公式二)

性质6：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半;

在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。

3、判定方法：

判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。

判定2：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形。

判定3：勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。

判定4：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。

判定5：两个锐角互余的三角形是直角三角形。

判定6：在直角三角形中，60度内角所对的直角边等于斜边的根号3/2

判定7：在证明直角三角形全等的时候可以利用HL两个三角形的斜边长对应相等以及一个直角边对应相等可判断两直角

篇3：中考数学：直角三角形解题技巧

一、选择题 1.(孝感，第8题3分)如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角为α，若AC=a，BD=b，则?ABCD的面积是() A.absinαB.absinαC.abcosαD.abcosα 考点：平行四边形的性质;解直角三角形. 分析：过点C作CE⊥DO于点E，进而得出EC的长，再利用三角形面积公式求出即可. 解答：解：过点C作CE⊥DO于点E， ∵在?ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角为α，AC=a，BD=b， ∴sinα=， ∴EC=COsinα=asinα， ∴S△BCD=CE×BD=×asinα×b=absinα， ∴?ABCD的面积是：absinα×2=absinα. 故选;A. 点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及解直角三角形，得出EC的长是解题关键. 2.(o泰州，第6题，3分)如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为"智慧三角形".下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是() A.1，2，3B.1，1，C.1，1，D.1，2， 考点：解直角三角形 专题：新定义.

篇4：中考数学：直角三角形解题技巧

数学考试中涉及直角三角形考点，直角三角形主要包括了解直角三角形的边角关系、解直角三角形的函数值、锐角三角函数公式等，希望能学生们带来帮助!

概念：

在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

解直角三角形的边角关系：

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，

(1)三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理);

(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°;

(3)边角之间的关系：

解直角三角形的函数值：

锐角三角函数：

sinA=a/c,cosA=b/c,tanA=a/b,cotA=b/a

(1)互余角的三角函数值之间的关系：

若∠A+∠ B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA

(2)同角的三角函数值之间的关系：

①sin2A+cos2A=1

②tanA=sinA/cosA

③tanA=1/tanB

④a/sinA=b/sinB=c/sinC

(3)锐角三角函数随角度的变化规律：

锐角∠A的tan值和sin值随着角度的增大而增大，cos值随着角度的增大而减小。

解直角三角形的应用：

一般步骤是：

(1)将实际问题抽象为数学问题(画图，转化为直角三角形的问题);

(2)根据题目的条件，适当选择锐角三角函数等去解三角形;

(3)得到数学问题的答案;

(4)还原为实际问题的答案。

练习题

1、三角形ABC中，∠C=90°，AB=8， 则AC的长是()。

2、某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为 米，则这个破面的坡度为()。

3、锐角三角形ABC中，AB=AC=10，BC=16，则()。

4、正方形ABCD的边长为1，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC的延长线上的D′处，那么 ∠BA D′= ()。

答案

1、6

3、1∶2

7、0.75

9、30度

篇5：中考数学：直角三角形解题技巧

考点归纳整理直角三角形

1、有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。

直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。

直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：

2、性质

性质1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

性质2:在直角三角形中，两个锐角互余

性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。(即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2)。

性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。

性质5: 射影定理

在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项

∠ACB=90°

CD⊥AB

ABCD=ACBC(可用面积来证明)

直角三角形的外接圆的半径R=1/2BC,

直角三角形的内切圆的半径r=1/2(AB+AC-BC)(公式一);

r=AB*AC/(AB+BC+CA)(公式二)

性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半;

在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。

篇6：中考数学：直角三角形解题技巧

一、选择题 1.(湘潭，第7题，3分)以下四个命题正确的是() A.任意三点可以确定一个圆 B.菱形对角线相等 C.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 D.平行四边形的四条边相等 考点：命题与定理 分析：利用确定圆的条件、菱形的性质、直角三角形的性质及平行四边形的性质分别对每个选项判断后即可确定答案. 解答：解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误; B、菱形的对角线垂直但不一定相等，故错误; C、正确; D、平行四边形的四条边不一定相等. 故选C. 点评：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、菱形的性质、直角三角形的性质及平行四边形的性质，难度一般. 2.(o湘潭，14题，3分)如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，PA切⊙O于A点，则PA=4.

篇7：中考数学：直角三角形解题技巧

新一轮 复习备考周期正式开始， 为各位初三考生整理了各学科的复习攻略，主要包括中考必考点、中考常考知识点、各科复习方法、考试答题技巧等内容，帮助各位考生梳理知识脉络，理清做题思路，希望各位考生可以在考试中取得优异成绩!下面是《 数学知识点：解直角三角形的函数值列举》，仅供参考!

解直角三角形的函数值列举：

sin1=0.01745240643728351 sin2=0.03489949670250097 sin3=0.05233595624294383

sin4=0.0697564737441253 sin5=0.08715574274765816 sin6=0.10452846326765346

sin7=0.12186934340514747 sin8=0.13917310096006544 sin9=0.15643446504023087

sin10=0.17364817766693033 sin11=0.1908089953765448 sin12=0.1169081775931

sin13=0.22495105434386497 sin14=0.24192189559966773 sin15=0.2588190451025

sin16=0.27563735581699916 sin17=0.2923717047227367 sin18=0.3090169943749474

sin19=0.3255681544571567 sin20=0.341433256687 sin21=0.35836794954530027

sin22=0.374606593415912 sin23=0.3907311284892737 sin24=0.40673664307580015

sin25=0.42261826174069944 sin26=0.4383711467890774 sin27=0.45399049973954675

sin28=0.4694715627858908 sin29=0.4848096633706 sin30=0.49999999999999994

sin31=0.5150380749100542 sin32=0.529919264233 sin33=0.544639035015027

sin34=0.5591929034707468 sin35=0.573576436351046 sin36=0.5877852522924731

sin37=0.601815023153 sin38=0.6156614753256583 sin39=0.629310498375

sin40=0.6427876096865392 sin41=0.6560590289905073 sin42=0.6691306063588582

sin43=0.6819983600624985 sin44=0.6946583704589972 sin45=0.7071067811865475

sin46=0.7193398003386511 sin47=0.7313537016191705 sin48=0.7431448254773941

sin49=0.7547095802227719 sin50=0.766044443118978 sin51=0.7771459614569708

sin52=0.7880107536067219 sin53=0.7986355100472928 sin54=0.8090169943749474

sin55=0.819152889918 sin56=0.8290375725550417 sin57=0.8386705679454239

sin58=0.848048096156426 sin59=0.8571673007021122 sin60=0.8660254037844386

sin61=0.8746197071393957 sin62=0.8829475928589269 sin63=0.8910065241883678

sin64=0.898794046299167 sin65=0.9063077870366499 sin66=0.9135454576426009

sin67=0.948534524404 sin68=0.9271838545667873 sin69=0.933580426497

sin70=0.939692659083 sin71=0.9455185755993167 sin72=0.9510565162951535

sin73=0.9563047559630354 sin74=0.9612616959383189 sin75=0.9659258262890683

sin76=0.9702957262759965 sin77=0.9743700647852352 sin78=0.9781476007338057

sin79=0.981627183447664 sin80=0.984807753012208 sin81=0.9876883405951378

sin82=0.9902680687415704 sin83=0.992546151641322 sin84=0.9945218953682733

sin85=0.9961946980917455 sin86=0.9975640502598242 sin87=0.9986295347545738

sin88=0.9993908270190958 sin89=0.9998476951563913

sin90=1