中考数学知识点：等腰三角形

一、等腰三角形的性质

等腰三角形是指两条边长度相等的三角形，通常称为“腰”。其性质主要体现在以下几个方面：

1. 性质定理及推论

- 定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）。

- 推论1：等腰三角形的顶角平分线平分底边并且垂直于底边。这意味着等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高完全重合。

- 推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。

2. 其他性质

- 等腰直角三角形：两个底角相等且各为45°。

- 底角的限制：等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角或直角，而顶角可以是钝角或直角。

- 三边关系：设腰长为a，底边长为b，则有不等式关系：\[ \frac{b}{2} < a < \frac{a + b}{2} \]。

- 三角关系：设顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则有\[ ∠A = 180° - 2∠B \]，且\[ ∠B = ∠C \]。

二、等腰三角形的判定

判定等腰三角形的方法主要有两种，一是基于角度，二是基于边长：

1. 等腰三角形的判定定理及推论

- 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这一判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。

- 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

- 推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

- 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

三、等腰三角形的判定方法

通过等腰三角形的性质和判定定理，我们可以进一步总结出几种判定方法：

1. 中线

- 性质：等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角；等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等。

- 判定：两边上中线相等的三角形是等腰三角形；如果一个三角形的一边中线垂直这条边（平分这个边的对角），那么这个三角形是等腰三角形。

2. 角平分线

- 性质：等腰三角形顶角平分线垂直平分底边；等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边两端点的距离相等。

- 判定：如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边（平分对边），那么这个三角形是等腰三角形；三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形。

3. 高线

- 性质：等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边；等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等。

- 判定：如果一个三角形一边上的高平分这条边（平分这条边的对角），那么这个三角形是等腰三角形；有两条高相等的三角形是等腰三角形。

四、总结

通过上述分析，我们可以看出等腰三角形的性质和判定方法是相互关联且互补的。掌握这些知识有助于我们更好地解决与等腰三角形相关的数学问题。无论是通过角度还是边长，我们都可以灵活运用这些性质和判定方法来解决问题，提高解题效率。