中考数学圆与圆位置关系中常见辅助线的作法
圆与圆位置关系是初中几何的一个重要内容，也是学习中的难点，本文介绍圆与圆的位置关系中常见的五种辅助线的作法。
1. 作相交两圆的公共弦
利用圆内接四边形的性质或公共圆周角，沟通两圆的角的关系。
例1. 如图1，⊙O 1
和⊙O 2
相交于A、B两点，过A、B分别作直线CD、EF，且CD//EF，与两圆相交于C、D、E、F。求证：CE=DF。
图1
分析：CE和DF分别是⊙O 1
和⊙O 2
的两条弦，难以直接证明它们相等，但通过连结AB，则可得圆内接四边形ABEC和ABFD，利用圆内接四边形的性质，则易证明。
证明：连结AB
因为
又
所以
即CE//DF
又CD//EF
所以四边形CEFD为平行四边形
即CE=DF
2. 作两相交圆的连心线
利用过交点的半径、公共弦、圆心距构造直角三角形，解决有关的计算问题。
例2. ⊙O 1
和⊙O 2
相交于A、B两点，两圆的半径分别为 和 ，公共弦长为12。求 的度数。
图2
分析：公共弦AB可位于圆心O 1
、O 2
同侧或异侧，要求 的度数，可利用角的和或差来求解。
解：当AB位于O 1
、O 2
异侧时，如图2。
连结O 1
、O 2
，交AB于C，则 。分别在 和#p#分页标题#e# 中，利用锐角三角函数可求得
故
当AB位于O 1
、O 2
同侧时，如图3
图3
则
综上可知 或
3. 两圆相切，作过切点的公切线
利用弦切角定理沟通两圆中角的关系
例3. 如图4，⊙O 1
和⊙O 2
外切于点P，A是⊙O 1
上的一点，直线AC切⊙O 2
于C，交⊙O 1
于B，直线AP交⊙O 2
于D。求证PC平分 。
图4
分析：要证PC平分 ，即证
而 的边分布在两个圆中，难以直接证明。
若过P作两圆的公切线PT，与AC交于T
易知
由弦切角定理，得
又 是 的一个外角
所以
又 #p#分页标题#e#
从而有
即PC平分
4. 两圆相切，作连心线
利用连心线经过切点的性质，解决有关计算问题。
例4. 如图5，⊙O 1
与半径为4的⊙O 2
内切于点A，⊙O 1
经过圆心O 2
，作⊙O 2
的直径BC，交⊙O 1
于点D，EF为过点A的公切线，若 ，求 的度数。
图5
分析： 是弦切角，要求其度数，需将其转化为圆周角或圆心角，因此连结O 1
O 2
、O 1
A，则O 1
O 2
必过点A，且O 2
A为⊙O 1
的直径，易知 。
连结DA，则
于是
又 为锐角
所以
从而有
5. 过小圆圆心作大圆半径的垂线
有关公切线问题常过小圆的圆心作大圆半径的垂线，构造直角三角形。
例5. 如图6，⊙O 1
与⊙O 2
外切于点O，两外公切线PCD和PBA切⊙O 1
、⊙O 2
于点C、D、B、A，且其夹角为 ， ，求两圆的半径。#p#分页标题#e#
图6
分析：如图6，连结O 1
O 2
、O 1
A、O 2
B，过点O 2
作 ，构造 ，下面很容易求出结果。
请同学们自己给出解答。
答案：两圆的半径分别为3和1)
