中考数学趣味数学：缺失的数字
在下面这个加法算式中，每个字母代表0～9中的一个数字，且不同的字母代表不同的数字：
```
AB
CD
EF
+GH
-----
III
```
请问缺失的是0～9中的哪一个数字呢？
提示
提示：I必定代表哪个数字呢？
答案
通过细致分析这个加法算式，我们可以发现一些关键线索。首先，每一列都是四个不同的数字相加，因此每列的最大和为9 + 8 + 7 + 6 = 30。由于I不能等于0（因为它是和的首位数），所以向左列的进位不能大于2。这意味着I作为和的首位数不能等于3。
因此，I必定等于1或2。
假设I等于1，那么右列的数字之和必须是11或21，而左列的数字之和相应为10或9。这意味着：
\[ B + D + F + H + A + C + E + G + I = 10 + 10 + 1 = 22 \]
或者
\[ B + D + F + H + A + C + E + G + I = 21 + 9 + 1 = 31 \]
然而，从1到9这十个数字之和是45，而上述两个式子中九个数字之和的差都大于9，这种情况显然是不可能的。因此，I必定等于2。
既然I等于2，那么右列的数字之和必须是12或22，而左列的数字之和相应为21或20。这意味着：
\[ B + D + F + H + A + C + E + G + I = 12 + 21 + 2 = 35 \]
或者
\[ B + D + F + H + A + C + E + G + I = 22 + 20 + 2 = 45 \]
第一种选择不成立，因为那十个数字之和与式子中九个数字之和的差大于9。因此，缺失的数字必定是1。
至少存在一种这样的加法式子，这可以证明如下：
按照惯例，两位数的首位数字不能是0，因此0只能出现在右列。这意味着右列的其他三个数字之和为22。因此，右列的四个数字只有两种可能：0、5、8、9（左列数字相应为3、4、6、7）或0、6、7、9（左列数字相应为3、4、5、8）。显然，这样的加法式子有很多。
细致分析
为了进一步验证，我们可以通过具体的例子来说明：
假设右列的数字为0、5、8、9，左列的数字为3、4、6、7。我们可以构建一个加法式子：
```
34
58
69
+ 07
-----
222
```
验证一下：
\[ 3 + 5 + 6 + 0 = 14 \]
\[ 4 + 8 + 9 + 7 = 28 \]
\[ 14 + 28 = 42 \]
加上进位2：
\[ 42 + 2 = 44 \]
加上进位1：
\[ 44 + 1 = 45 \]
这与题目的结果相符，因此缺失的数字确实是1。
同样地，假设右列的数字为0、6、7、9，左列的数字为3、4、5、8，我们也可以构建另一个加法式子：
```
34
56
47
+ 98
-----
222
```
验证一下：
\[ 3 + 5 + 4 + 9 = 21 \]
\[ 4 + 6 + 7 + 8 = 25 \]
\[ 21 + 25 = 46 \]
加上进位2：
\[ 46 + 2 = 48 \]
加上进位1：
\[ 48 + 1 = 49 \]
这也与题目的结果相符，因此缺失的数字确实是1。
缺失的数字是1。
